Dégats des eaux mal géré par le syndic : que faire ?

Bonjour, veuillez m’excuser pour la longueur de mon texte mais la situation est complexe.

- Je suis propriétaire d’un appartement situé au 2eme étage
- Mme K est propriétaire de l’appartement situé au 2eme étage juste à côté du mien
- Mme T est propriétaire de l’appartement situé en dessous de Mme K au 1er étage
- Mr M est locataire de l’appartement situé juste en dessous du mien au 1er étage (et donc à coté de Mme T).

Mi-août 2020, un dégât des eaux est survenu au plafond de Mme T.
Mme K, directement au dessus d’elle, a refusé de faire des démarches. Donc le président du conseil syndical a pris la décision d’appeler le plombier de la copro afin d’effectuer une recherche de fuite. Celle-ci a donc été effectuée chez Mme K (qui a finalement accepté).
Au meme temps que le plombier effectuait la recherche de fuite chez Mme K, Mr M (mon voisin du dessous) est venu m’informer qu’il avait lui aussi, une fuite au niveau du plafond de sa salle bain. Ce qui correspond à ma salle de bain également. Je l’ai alors tout de suite signalé au plombier qui est venu inspecter ma douche : la bonde n’était plus étanche. Il l’a réparée et les fuites ont cessé chez les deux personnes du 1er étage. La fuite prenait donc son origine chez moi. Le plombier a bien entendu relevé mes coordonnées.
J’ai, le jour même, effectué une déclaration de sinistre auprès de mon assurance habitation. A ce moment-là, l’assurance m’a conseillé de ne rien payer et d’attendre, m'indiquant que cela serait pris en charge (même la recherche de fuite!).
Et ensuite, je n'ai plus eu aucune nouvelle jusqu’au 1er Janvier 2021, jour où j’ai reçu de la part du Syndic, l’appel de fond. Dans lequel, le syndic me facture la recherche de fuite ainsi que les travaux de remise en état de l’appartement de Mme K (plus de 800€). J’ai alors appelé mon assurance afin de connaître la marche à suivre. Ils m’ont indiqué d’envoyer un email avec tous les documents chose que j’ai fait aussitôt, le 04/01/2021. Depuis je n’ai plus de nouvelles. J’ai essayé de les contacter par téléphone à de nombreuses reprises, par email, et même un courrier recommandé le 04/03... je n’ai toujours pas reçu l’AR.
J'aimerais savoir ce que je dois faire ? Dois-je payer le syndic et ensuite me retourner contre mon assurance ?

NB : je précise que les deux factures du plombier sont adressées au syndic et qu’elles mentionnent un résumé de la situation et de ce qui a été effectué (par ailleurs mon nom y est mal orthographié).
D’avance merci pour votre retour et belle journée à vous.