Vice caché invoqué par la garantie

Bonjour,

Le mois dernier, nous avons acheté une voiture d'occasion via un mandataire (Année 2022 / 15 000km). Cette voiture a été vendue avec une "protection" de 6 mois couvrant explicitement la boîte de vitesse.

La problématique

- Le 31/10 : nous signons le contrat et prenons la route avec la voiture pour 300km.
- Dans l'heure, nous décelons un grippement et un bruit métallique venant de la boîte de vitesse lors du passage de la seconde à la troisième vitesse.
- Le 31/10 au soir : nous écrivons au mandataire pour lui signifier le problème par e-mail (sans réponse).
- Le 1/11 : nous déclarons le sinistre à la garantie qui nous indique qu'ils ont besoin du devis du garage.
- Le 24/11 : nous recevons un devis d'environ 10 000€ pour changer la boîte de vitesse et la main-d'oeuvre.
- Le 25/11 : nous envoyons le devis à la garantie pour prise en charge. Ils nous appellent immédiatement en invoquant la clause d'exclusion suivante "Les dommages entrant dans le cadre de la garantie légale des vices cachés (articles 1641 et suivants du code civil) et de la garantie légale de conformité (articles L. 217-4 et suivants du Code de la consommation)".

Ma question principale :
Etant donné qu'ils invoquent le vice caché pour refuser la prise en charge, ont-ils la responsabilité de prouver le vice caché ?
Si oui, sur quel article puis-je m'appuyer pour que la charge de prouver ce vice caché leur revienne ?

Deuxième question :
Si nous nous retournons contre le vendeur, a-t-on des chances d'obtenir gain de cause pour la prise en charge des réparations ou l'annulation de la vente ?

Je vous remercie.