Bonjour,
Oui, si le père de l'enfant est d'accord.
Sinon votre fille ne peut qu'ajouter un de ses patronymes au nom légal de son fils.
Il n'y a pas de procédure particulière pour adopter un nom d'usage, il suffit de s'en servir. Si votre fille agit sans le consentement du père, elle doit l'informer de sa décision par courrier recommandé, afin que celui-ci puisse éventuellement saisir le JAF pour s'y opposer s'il juge cette décision contraire l'intérêt de l'enfant.
https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F36441
En résumé : d'un commun accord, les parents peuvent décider que votre petit-fils usera du nom "D-K".
Sinon votre fille peut décider qu'il usera du nom "SonNomLégal-D" ou "SonNomLégal-K".