Difficulté avec syndic et assurance copro

Bonjour

Voici l’exposé de la situation, et ensuite les questions, si vous voulez bien.

Petite copro de 15 logement, syndic professionnel, nous sommes propriétaires.
Des infiltrations survenues fin 2019 par un toit-terrasse et les façades (donc par des parties communes) ont endommagé nos revêtements privés et cela a été indemnisé.
Mais il est apparu en été 2022 que ces infiltrations avaient endommagé aussi la structure de l’immeuble : cela a provoqué la corrosion d’armatures du béton du plancher haut, ce qui a été reconnu en été 2023 par un expert comme nécessitant des travaux de renforcement, et comme étant une conséquence des infiltrations (depuis 2019, dont les origines ne sont pas encore toutes réparées ...).
L’expert en question est un bureau de contrôle construction très connu, mandaté par le syndic.
Les travaux confortatifs consisteraient en « poutres et poteaux » à définir par un bureau d’études.
En attendant, il a été mis des étais nous privant de l’usage de la chambre.
Le syndic prévoit de mettre tout cela à charge des copropriétaires : le BET, les travaux, et les conséquences diverses.
Je lui ai demandé d’actionner l’assurance copropriété, mais il NE VEUT PAS. Il dit que les réparations de structure ne sont pas du ressort de l’assurance.

Pourtant, dans le contrat d’assurance vu sur l’extranet, il est prévu que « ce qui est garanti … les dommages matériels … résultant d’infiltrations … par toitures … par façades … »
Hors, les dégâts tels que décrits par l’expert sont bien, ce me semble, des dommages matériels, sur partie commune (le plancher béton) dus à des infiltrations par des parties communes.

Questions :

Est-ce que mon analyse est bonne : le syndic doit-il bien déclarer les dommages à l’assureur ?

Si oui, comment le contraindre, sachant qu’une lettre RAR n’a rien donné ?

Pouvons-nous autrement, par nous-mêmes, saisir cette assurance ? (nous avons les coordonnées du contrat) ?

S’il advenait que l’assureur invoque une déchéance par déclaration tardive (ça dure depuis un an et même plus), est-ce que le syndic pourrait être poursuivi pour « perte de chances ».

Dernier point : les autres copropriétaires ne sont pas inquiets, et attendent de voir venir. Nous nous battons seuls (pour le moment)