Commencez par oublier ce DPE qui est un épouvantail mis à toutes les sauces.
Le DPE ne démontre en rien l'insalubrité, et son absence n'est suivi d'AUCUNE sanction.
D'ailleurs quelle est sa notation ?
Ensuite sachez qu'un "juriste" (c'est quoi d'ailleurs ? un étudiant en droit ?) n'a d'autre pouvoir que de vous impressionner par des sornettes.
L'insalubrité :
https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F16158
La situation d'insalubrité est constatée par le directeur général de l'agence régionale de santé (ARS) ou le directeur du service communal d'hygiène et de santé (SCHS).
Vous ne pouvez pas "autoriser le locataire à partir". C'est au locataire de donner son congé : avez-vous reçu un congé selon l'article 25-8 de la loi 89-462 (c'est un meublé, n'est-ce pas ?)
Le congé doit être notifié par lettre recommandée avec demande d'avis de réception ou signifié par acte d'un commissaire de justice ou remis en main propre contre récépissé ou émargement.
Il est en situation d'impayé, seule une décision de justice peut le dispenser de payer son loyer.
Pour le moment vous avez parfaitement le droit d'exiger le paiement.
Lire ici comment :
https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F31272
SOS loyers impayés
Service d'accompagnement, de conseils et de prévention en cas de risque d'expulsion liée à des impayés de loyer. Ce service informe gratuitement les locataires, comme les propriétaires.
Par téléphone
0 805 160 075 du lundi au vendredi
Numéro vert : appel et service gratuit, depuis un téléphone fixe ou mobile
Vous pouvez aussi demander au service d'hygiène une inspection du logement pour en avoir "le coeur net", à savoir si des travaux sont nécessaires ou si l'état du logement est dû au mauvais entretien par le locataire.
Rappel des obligations du locataire selon l'article 7 de la loi 89-462 :
https://www.legifrance.gouv.fr/loda/article_lc/LEGIARTI000050623555