Litige employeur attestation employeur erronée

Bonjour,J'ai signé 1 CDI le 13/05/26 avec 1 période d'essai de 2 mois. Le 29/06/26 l'employeur met fin à ma période d'essai et me propose 1 CDD du 13/07 au 30/10/26.
Ce que j'ai refusé par mail envoyé le 30/06/26.
J'étais en ARE indemnisée jusqu'au mois d'avril et restais inscrite à France Travail. Le 10/07/26 France Travail m'informe de leur refus ARE suite démission. De plus,l'employeur leur a transmis 1 attestation avec départ à l'initiative du salarié. Je leur ai montré sur place ma lettre de fin de rupture de contrat période d'essai remise en main propre par mon employeur le 29/06/26 et donc preuve contradictoire de l'attestation employeur fournie.Je précise que uniquement France Travail possède ce document, il ne m'a pas été remis par l'employeur. J'ai fait 1 recours à France Travail mais ils se basent seulement sur l'attestation. J'ai envoyé 1 demande par mail à mon employeur pour qu'il rectifie l'attestation vu qu'elle ne correspond pas à la réalité des faits,il m'a répondu que mon mail du 30/06 annulait la lettre de rupture du 29/06 et que la rupture était bien à mon initiative. Que puis-je entreprendre pour faire valoir mes droits auprès de France Travail et pouvoir bénéficier de l'ARE?
Merci pour vos conseils.
Maite