Arrêt de travail pendant période d’essai, contrat non signé

Bonjour,

J’ai commencé un emploi lundi, et j’ai eu mon contrat de travail (CDD 4 mois) mercredi, à emmener chez moi pour le lire et le signer, parce que “pas le temps de le faire pendant le travail”.
Je ne l’ai pas encore signé.
Depuis ce matin (vendredi) je suis en arrêt de travail pour une lombalgie. J’en ai directement informée mon employeur qui m’a dit “ne signe pas le contrat, je ne te reprend pas après l’arrêt, on verra avec le comptable”.
Plus tard dans la journée elle m’a appelée pour me dire de finalement signer le contrat et lui amener l’arrêt de travail, mais que malgré tout elle ne me garderait pas une fois mon arrêt terminé (5 jours).

Dois-je signer le contrat de travail et lui amener l’arrêt ?
Ou dois-je lui répondre que puisque la période d’essai est interrompue, et qu’elle ne me garde pas dans l’entreprise, je ne le signe pas ?

Merci à vous

1)"Le contrat de travail existe dès l’instant où une personne (le salarié) s’engage à travailler, moyennant rémunération, pour le compte et sous la direction d’une autre personne (l’employeur). Le plus souvent, le contrat de travail doit être écrit. Son exécution entraîne un certain nombre d’obligations, tant pour le salarié que pour l’employeur" donc signez votre contrat de travail et envoyez-vite votre arrêt maladie

2)Arrêt de travail initial

"Dans les 2 jours ouvrables qui suivent la date d'interruption de travail, vous devez transmettre les volets n°1 et n°2 de l'avis d'arrêt de travail à la CPAM . Vous devez également transmettre le volet n°3 à votre employeur, dans un délai fixé par la convention collective (souvent fixé à 2 jours également)"