Promesse d'embauche

Bonjour,

Le 15 août, j'ai été retenu pour un poste dans l'entreprise A. Suite à cela, j'ai demandé une promesse d'embauche. À cette même date, j'ai donc reçu cette lettre de promesse d'embauche mentionnant le CDI, le titre de poste, la date d'embauche, la durée de la période d'essai et la rémunération. Je devais démarrer le 14 septembre 2020.
Ce 15 août, j'ai répondu par mail que je remerciais l'entreprise pour la promesse d'embauche et que c'était bien reçu. Je n'ai rien signé avec cette entreprise A.

Le 8 septembre, j'ai reçu une meilleure proposition de poste d'une autre entreprise, l'entreprise B, que j'ai accepté avec signature de contrat.

De ce fait, j'ai demandé une annulation de la promesse d'embauche avec l'entreprise A avant la date de prise de poste (14 septembre 2020). Cette entreprise A prend note de ma demande et m'indique que leur avocat va prendre contact avec moi pour la suite.
Etant donné que je n'ai rien signé avec cette entreprise A et que je n'ai pas commencé à travailler pour eux, j'ai considéré que je n'étais pas engagé légalement.

Donc est ce que cette entreprise A a le droit d'engager une procédure judiciaire et donc potentiellement des dommages et intérêts ?

Merci pour votre aide.

Bonjour ,
vous n'avez rien signé ,
et l'entreprise A a le droit de repartir à la recherche d'un autre salarié